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9.8.5 三重积分的计算及其MATLAB程序

9.8.5 三重积分的计算及其MATLAB程序

 (一) 用MATLAB符号计算三重积分

例9.8.8  计算eddd,其中积分区域V是由旋转抛物面,圆柱所围成的空间闭区域.

解 (1)画出积分区域V的草图.输入程序

>> [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);

z1=8-(x.^2+ y.^2);

figure(1)

meshc(x,y,z1)

hold on

x=-2:0.01:2; r=2;

[x,y,z]=cylinder(r,30)

mesh(x,y,z)

hold off

title('由旋转抛物面z=8-(x^2+y^2),圆柱面 x^2+ y^2=4和z=0 所围成的积分区域V')

figure(2)

contour(x,y,z,10)

title('由z=8-(x^2+y^2) ,圆柱面 x^2+ y^2=4和z=0  所围成区域V在x0y面上的投影区域Dxy')

运行后屏幕显示图形(略).

(2)确定积分限.输入程序

>> syms x y z

f1=('z=8-(x^2+y^2)');

f2=('x^2+ y^2=4');

[x,y,z]=solve(f1,f2,x,y,z)

运行后屏幕显示旋转抛物面和圆柱面的交线如下

x =                        y =            z =

[  (4-y^2)^(1/2)]             [ y]           [ 4]

[ -(4-y^2)^(1/2)]             [ y]           [ 4]

(3)输入计算程序

>> syms x y z

f=x+exp(y)+sin(z); z1=0;z2=8-(x^2+y^2);

 x1=-sqrt(4-y^2);x2=sqrt(4-y^2);

jfz=int(f,z,z1,z2); jfx=int(jfz,x,x1,x2);

jfy=int(jfx,y,-2,2);jf2=double(jfy)

运行后屏幕显示如下

Warning: Explicit integral could not be found.

> In C:\MATLAB6p5p1\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

jf2 =

  1.216650998803250e+002

因此,所求的的近似值为121.665 1.

 

(二)  用MATLAB数值计算三重积分

调用格式一:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q)

调用格式二:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,tol)

调用格式三:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,tol,@QUADL)

调用格式四:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,tol,@MYQUADF)

调用格式五:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,tol,@QUADL,P1,P2,...)

调用格式六:Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,[ ],[ ],P1,P2,...)

   与           Q3=triplequad(FUN,a,b,c,d,p,q,1.e-6,@QUAD,P1,P2,...) 相同.

 

例9.8.9  分别用MATLAB函数triplequad 的调用格式二和三计算eddd的值,取误差限为tol=,并将计算结果与精确值比较.其中V是三维长方体区域.

解 建立并保存被积函数的M文件     

function u=integrnd1(x,y,z)

             u=x+exp(y)+sin(z);

在MATLAB工作窗口输入程序

>>  a= -2;b=2;c=-2;d=2;p=0;q=4;

Q3=triplequad(@integrnd1,a,b,c,d,p,q,1.e-4)

QL3=triplequad(@integrnd1,a,b,c,d,p,q,1.e-4,@quadl)

  syms x y z

f=x+exp(y)+sin(z);

 jfz=int(f,z,p,q); jfy=int(jfz,y,c,d);

jfx=int(jfy,x,a,b); I3=double(jfx),

Juewu3=abs(I3-Q3)

JuewuL3=abs(I3-QL3)

运行后屏幕显示如下

Q3 =

1.425178451284647e+002,     

QL3 =

1.425178451284647e+002

I3 =

1.425178309849224e+002,     

Juewu3 =

1.414354233020276e-005

JuewuL3 =

1.414354233020276e-005

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