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9.3.3 ~9.3.4辛普森公式及其误差分析

9.3.3 辛普森公式及其误差分析

例9.3.7  用辛普森公式计算ed,取个等距节点,并将计算结果与精确值比较,然后再取计算,观察对误差的影响.

解 由,得.根据辛普森(Simpson)公式编写并输入下面的程序

>> a=0;b=1;m=10000; h=(b-a)/(2*m); x=a:h:b;

y=exp((-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi));

z1=y(1)+y(2*m+1); z2=2*sum(y(2:2:2*m));

z3=4*sum(y(3:2:2*m));

z=(z1+z2+z3)*h/3, syms t,f=exp((-t^2)/2)/(sqrt(2*pi));

intf=int(f,t,a,b), Fs=double(intf); Juewucha=abs(z-Fs)

运行后屏幕显示用辛普森公式(9.11)计算定积分的近似值z和精确值intf及其绝对误差Juewucha(取个等距节点).

 

例9.3.8  估计用辛普森公式计算定积分ed时的误差,取.

解  根据估计误差公式,先输入求的程序

>>syms x,y=exp(sin(x)); yx4=diff(y,x,4)

运行后输出被积函数的四阶导函数. 然后在输入误差估计程序

>>h=pi/40; x=0:0.00001:pi/2;

yx4=sin(x).*exp(sin(x))-4*cos(x).^2.*exp(sin(x))+3*sin(x).^2.*exp(sin(x))-6*sin(x).*cos(x).^2.*exp(sin(x))+cos(x).^4.*exp(sin(x));

juyx4= abs(yx4); RS=(h^4)*(pi/2)*max(juyx4)/180

运行后屏幕显示误差估计值

RS =

    3.610450295892220e-006

 

9.3.4  辛普森(Simpson)数值积分的MATLAB程序

 

调用格式一:quad(‘fun’,a,b)

调用格式二:quad(‘fun’,a,b,tol)

调用格式三:[Q,FCNT] = quad (...)

调用格式四:quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE)

调用格式五:quad(‘fun’,a,b, tol,TRACE,P1,P2, …)

复合辛普森(Simpson)数值积分的MATLAB主程序

function y=comsimpson(fun,a,b,n)

z1=feval (fun,a)+ feval (fun,b);m=n/2;

h=(b-a)/(2*m); x=a;

z2=0; z3=0; x2=0; x3=0;

for k=2:2:2*m

  x2=x+k*h; z2= z2+2*feval (fun,x2);

end

for k=3:2:2*m

  x3=x+k*h; z3= z3+4*feval (fun,x3);

end

y=(z1+z2+z3)*h/3;

例9.3.9  用comsimpson.m和quad.m分别计算定积分ed,取精度为,并与精确值比较.

解  输入程序

>>  [Q1,FCNT14] = quad(@fun,0,1,1.e-4,3),

Q2 =comsimpson (@fun,0,1,10000)

syms x

fi=int(exp( (-x.^2)./2)./(sqrt(2*pi)),x,0, 1);

Fs= double (fi)

wQ1= double (abs(fi-Q1) ), wQ2= double (abs(fi-Q2) )

运行后屏幕显示的精确值Fs,用comsimpson.m和quad.m分别计算的近似值Q2、Q1和迭代次数FCNT14,取精度分别为,Q2、Q1分别与精确值Fs的绝对误差wQ2, wQ1如下

9     0.0000000000    2.71580000e-001     0.1070275100

      11     0.2715800000    4.56840000e-001     0.1597942242

      13     0.7284200000    2.71580000e-001     0.0745230082

Q1 =            FCNT14 =             Q2 =

    0.3413                13               0.3413

Fs =             wQ1 =                wQ2 =

    0.3413            3.6619e-009           3.7061e-005

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