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8.4.2 计算雅可比(Jacobi)矩阵及其行列式的MATLAB方法

8.4.2  计算雅可比(Jacobi)矩阵及其行列式的MATLAB方法

 

 (一) 符号计算雅可比(Jacobi)矩阵及其行列式

 

例 8.4.5  设,求在处的雅可比矩阵和雅可比行列式.

解(1)首先求雅可比矩阵.

在MATLAB工作窗口输入程序

>> syms x y z

T=[x y z]; u=3*(x-1)^2*exp(-(x+1)^2-y^2);

v=x^2-2*x+y^2+2*z+1; w=3*x*y*z;

f=[u;v;w]; Jfv=jacobian (f,T)

运行后输出f雅可比矩阵Jfv如下

Jfv =

[6*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*(x-1)^2*(-2*x-2)*exp(-(x+1)^2-y^2), -6*(x-1)^2*y*exp(-(x+1)^2-y^2), 0]

[2*x-2, 2*y, 2]

[3*y*z, 3*x*z, 3*x*y]

(2)再求雅可比行列式Jfd215,输入程序

>> x=2;y=1;z=5;

Jfv=[6*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*(x-1)^2*(-2*x-2)*exp(-(x+1)^2-y^2),-6*(x-1)^2*y*exp(-(x+1)^2-y^2),0;2*x-2,2*y,2;3*y*z,3*x*z,3*x*y],

Jfd215=det(Jfv)

运行后输出f在处的雅可比矩阵Jfv 及其行列式Jfd215如下

Jfv =

  -0.00054479915715  -0.00027239957857                  0

   2.00000000000000   2.00000000000000   2.00000000000000

  15.00000000000000  30.00000000000000   6.00000000000000

Jfd215 =

   0.02124716712884

 

例 8.4.6  设e.

求(1)的一阶偏导数,梯度和全微分;

(2)沿向量V=(2,1,5)的方向导数;

(3)处的一阶偏导数,梯度和全微分.

解 (1)输入程序

>> syms x y z i j k dx dy dz

T=[x y z];

f=3*(x-1)^2*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*x*y*z+x^2-2*x+y^2+2*z+1;

Jfv=jacobian (f,T); Df= Jfv*[dx dy dz]',

ux= Jfv(1), uy= Jfv(2), uz= Jfv(3),

d=[i j k]; gradf=Jfv*d',V=[2,1,5]; Fxdf=Jfv*V'

运行后屏幕显示沿向量V=(2,1,5)的方向导数Fxdf,的一阶偏导数ux, uy, uz,梯度gradf和全微分Df(略).

(2)输入程序

>>  syms i j k dx dy dz,x=2;y=1;z=5;

Df=(6*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*(x-1)^2*(-2*x-2)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*y*z+2*x-2)*conj(dx)+(-6*(x-1)^2*y*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*x*z+2*y)*conj(dy)+(3*x*y+2)*conj(dz)

ux=6*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*(x-1)^2*(-2*x-2)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*y*z+2*x-2

uy=-6*(x-1)^2*y*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*x*z+2*y

uz=3*x*y+2

gradf=-i*(6*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*(x-1)^2*(-2*x-2)*

exp(-(x+1)^2-y^2)+3*y*z+2*x-2)-i*(-6*(x-1)^2*y*exp(-(x

+1)^2-y^2)+3*x*z+2*y)+(3*x*y+2)*conj(k)

Fxdf=12*(x-1)*exp(-(x+1)^2-y^2)+6*(x-1)^2*(-2*x-2)*exp(-(x+1)^2-y^2)+6*y*z+4*x+6-6*(x-1)^2*y*exp(-(x+1)^2-y^2)+3*x*z+2*y+15*x*y

运行后屏幕显示处的沿向量V=(2,1,5)的方向导数Fxdf,的一阶偏导数ux, uy, uz,梯度gradf和全微分Df如下

Df=

2392460628375541/140737488355328*conj(dx)+9007122581075957/281474976710656*conj(dy)+8*conj(dz)

ux =                     uy =                      uz =

16.99945520084285         31.99972760042143         8

gradf =

-13792043837827039/281474976710656*i+8*conj(k)

Fxdf =

   1.059986380021071e+002

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