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3.3 高斯(Gauss)消元法和列主元消元法及其MATLAB程序

3.3  高斯(Gauss)消元法和列主元消元法及其MATLAB程序

高斯(Gauss)消元法又称消去法。解线性代数方程组的主要方法之一。早在东汉以前,中国古代著名的数学著作《九章算术》中就有了用消元法解方程组的方法。直到今日,消元法仍是解线性代数方程组的一个很重要的方法。

消元法解线性代数方程组时,将某一方程乘以某些常数分别加到其他方程上,以消去这些方程中的某一未知量。重复施行这一步骤,就可逐步消去未知量,最后只剩下一个未知量。用矩阵的语言来说也就是对方程组的系数矩阵或增广矩阵(加上右端项所成的矩阵)进行初等变换,使它的一些元素(例如主对角线以下的元素)为零。具体地说,设方程组为   

消元法      (1)

式中αij(i,j=1,2,…,n)和ƒ1,ƒ2,…,ƒn都是已知数,x1,x2,…,xn为待求的解。设α11不为零,将第一个方程分别乘以-α21/α11,-α31/α11,…,-αn1/α11加到第2至第n个方程上,就消去了这些方程中的x1,方程组化成

消元法     (2)

这里为了统一起见,已将α11,α12,…,α< sub>和ƒ1分别写为α刴,α剓,…,α剝和ƒ別。对(2)的后n-1个方程进行类似处理,消去后n-2个方程的x2,这样继续下去,若α消元法都不为零,最后得到

消元法      (3)

上述过程可表示为:对k=1,2,…,n-1, 

消元法

式中消元法 
有了(3)就可反推求出(1)的解:

消元法

这称为回代过程,而前面消去的步骤称为消去过程。 
在消去过程中,有时可能遇到α消元法=0的情况,但若方程组(1)有惟一解,则在消元法中至少有一个不为零,例如 α嫻≠0,那么只要将这时的第k个方程和第j个方程互换,即可继续进进消去。有时虽α消元法≠0,但|α消元法|很小,此时往往带来较大误差,从而使最后得到的解不够精确,甚至面目全非。为避免这种情况,也要进行上述交换,将 消元法中最大者所在的方程与第k个方程交换,这叫做列主元素消元法或部分主元素消元法,也可在后n-k+1个方程的所有的系数中找出绝对值最大的而后进行方程和未知量的交换,这叫做全主元素消元法,但这种方法工作量较大,一般用列主元素消去法较好。 


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