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4.2.2 积分 -matlab求积分

4.2.2  积分

 

如果函数在区间上连续,且的一个原函数,则函数在区间上的定积分为d。我们可以用MATLAB软件中的函数int对定积分进行符号计算的调用格式和功能如表4-2所示。

 

表4-2  函数int的求定积分的调用格式和功能

函数int的求定积分的命令

功  能

 

F=int(S,a,b)

输入量:S可以是被积函数,也可以是由几个被积函数构成的矩阵,积分上、下限a 和 b可以是数,也可以是符号标量,积分变量是

输出量:F是S关于积分变量的从a 到 b的定积分。

F=int(S,t,a,b)

输入量:S、a和b同上,t是积分变量。

输出量:F是S关于积分变量t的从a到b的定积分。

 

[例4]  求d

解 输入程序:

>> syms t

f=5/((t-1)*(t-2)*(t-3));

F=int(f,t,4,5)

y= double (F)

运行后屏幕显示计算的定积分值F和近似值y如下:

F =

25/2*log(2)-15/2*log(3)

y =

    0.4247

即 d0.4247。

 

[例5]  求d

解 输入程序:

>> syms x a b d e n

f=(a*x+b)/((d*x+e)^(1/n));

F=int(f,0,1)

y=simple(F)

运行后屏幕显示计算的定积分F和化简后的定积分y如下:

F =

n*(-2*e*(d+e)^(1/n)*n*b*d+e^2*(d+e)^(1/n)*n*a+2*e^(1/n)*n*b*e*d+e^(1/n)*a*d^2*n+2*e^(1/n)*n*b*d^2-e^(1/n)*n*a*e^2-e^(1/n)*b*d^2-e^(1/n)*d*a*e-e^(1/n)*a*d^2+e*(d+e)^(1/n)*b*d-e^(1/n)*e*b*d)/(e^(1/n))/((d+e)^(1/n))/d^2/(-3*n+1+2*n^2)

y =

n*((-2*e*(d+e)^(1/n)*b*d+e^2*(d+e)^(1/n)*a+e^(1/n)*a*d^2+2*e^(1/n)*b*d^2-e^(1/n)*a*e^2+2*e^(1/n)*e*b*d)*n-e^(1/n)*a*d^2+e*(d+e)^(1/n)*b*d-e^(1/n)*b*d^2-e^(1/n)*d*a*e-e^(1/n)*e*b*d)/(e^(1/n))/((d+e)^(1/n))/d^2/(-3*n+1+2*n^2)

 

[例6]  求下列不定积分

(1)d;(2)d;(3)d

解 下面将三个不定积分的被积函数f1,f2,f3构成一个矩阵f,用一个积分命令求不定积分,即输入程序:

>> syms x

f1=(2*x^2)/(sqrt(9-x^2));

f2=sqrt(x^2-1) /(2*x);

f3=1/(sqrt((4+x^2)^3));

f=[ f1; f2; f3];

F=int(f,1,2)

y= double(F)

运行后屏幕显示三个定积分值的矩阵F和近似值矩阵y如下:

F =

[ -2*5^(1/2)+9*asin(2/3)+2*2^(1/2)-9*asin(1/3)]

[                           1/2*3^(1/2)-1/6*pi]

[                     1/8*2^(1/2)-1/20*5^(1/2)]

y =

    1.8653

    0.3424

    0.0650

d1.8653 ,d0.3424,d0.0650。

 

[例7]  求下列定积分

(1)d;   (2)d

解 下面将两个不定积分的被积函数f1,f2构成一个矩阵f,用一个积分命令求不定积分,即输入程序:

>>  syms t

f1=(t^2+2*t-1)/((t-1)*(t^2-t+1));

f2=((cos(t))^2+1)/(cos(2*t)+1);

f=[ f1; f2];

F=int(f,pi/3,2*pi/5)

y= double(F)

运行后屏幕显示两个定积分的矩阵F及其近似值的矩阵y如下:

F =

[ -log(5)+2*log(2*pi-5)-1/2*log(25+4*pi^2-10*pi)+5/3*3^(1/2)*atan((4/15*pi-1/3)*3^(1/2))+log(3)-2*log(pi-3)+1/2*log(9+pi^2-3*pi)-5/3*3^(1/2)*atan((2/9*pi-1/3)*3^(1/2))]

[1/30*(pi*5^(1/2)-pi+15*2^(1/2)*(5+5^(1/2))^(1/2)-15*3^(1/2)*5^(1/2)+15*3^(1/2))/(5^(1/2)-1)]

y =

    3.7172

           0.7775

d3.7172,    d0.7775。

 [例8]  计算下列定积分:

(1)ed;(2)d;(3)d.

解 因为题设给定的三个定积分的上、下限分别相同,所以可以用向量的形式输入程序:

>>  syms t

A = [exp(sqrt(2*t)),(cos(3*t))^2,(t^2/((1+t^2)^2))];

g=int(A,t, 0,1)

S=double(g)

运行后屏幕显示计算三个定积分的值的向量g及其近似值的向量S依次为

g =

[exp(2^(1/2))*2^(1/2)-exp(2^(1/2))+1, 1/6*cos(3)*sin(3)+1/2, 22894441/3063060-19/8*pi]

S =

    2.7038    0.4767    0.0131

ed2.7038, d0.4767和d0.0131。

 

[例9]  已知d

解 输入程序:

>> syms x

f1=sin(x)+1; f2=(x^2)/2+5*x-7;

F=int(f1,x,0,1)+ int(f2,x,1,2)

y= double (F)

运行后屏幕显示计算的定积分值F和近似值y如下:

F =

-cos(1)+11/3

y =

3.1264

即   d3.1264。

 

 [例10]  计算d.

解 由于 

根据积分的可加性,有

    ddd.

输入程序:

>> syms x

f1=3*cos(x)+2; f2=-3*cos(x)+2;

F=int(f1,x,0,pi/2)+ int(f2,x,pi/2,pi)

y= double (F)

运行后屏幕显示计算的定积分值F和近似值y如下:

F =

6+2*pi

y =

   12.2832

 

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